FUNDACIÓN UNIVERSITARIA NAVARRA-UNINAVARRA

INTEGRANTES: 

-Daniela Facundo

-cristian Hernandez

-Wisthon Mendez

-Leandro Ramirez

DOCENTE:

MSc. Oscar Eduardo Vidal

TEMA: 

VECTORES 

VECTOR EN EL PLANO CARTESIANO

Un vector es una herramienta geométrica que en el plano cartesiano generará una transformación que podrá mover objetos dentro de él hacia otros lugares geométricos de éste. Los vectores actúan sobre figuras o puntos, moviéndolos según las coordenadas que éste tenga.

PROYECCIONES ORTOGONALES

Proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

En el plano, la proyección ortogonal es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son perpendiculares a la recta de proyección L.

Así, dado un segmento AB, bastará proyectar los puntos "extremos" del segmento –mediante líneas proyectantes auxiliares perpendiculares a L–, para determinar la proyección sobre la recta L.

Una aplicación de proyecciones ortogonales son los teoremas de las Relaciones métricas en el triángulo mediante las cuales se puede calcular la dimensión de los lados de un triángulo.

Vectores en R² y R³

  La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rⁿ.  En R¹ = R el vector es un punto, que llamamos escalar.  En R² el vector es de la forma (x₁, x₂) y en R³ el vector es de la forma (x₁, x₂, x₃).

Vectores en R² 

1. la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R², entonces  a + b = (a₁, a₂)  +  (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂).

2. el producto escalar se define por: sea α Є R  y a un vector en R² , entonces  αa = α(a₁, a₂) = (α a₁, α a₂). 

Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R².

Observa que si  a = (a₁, a₂)   y   b = (b₁, b₂),  entonces la  suma  de  los  vectores

 a + b = (a₁, a₂)  +  (b₁, b₂) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂).  El cual se obtiene trasladando la representación de los vectores a y b.  De manera, que se puede obtener  a + b dibujando un paralelogramo.  A esta regla de suma se le llama la regla del paralelogramo.

Para el producto escalar αa, se puede observa que si α > 0 se alarga o se acorta el vector a por un factor α.  Si α < 0 se invierte la dirección del vector a.

Vectores en R³

1. la   suma   de   vectores   se   define   por:   sean   a, b  Є  R³,   entonces a + b = (a₁, a_2, a₃)  +  (b₁, b_2, b₃) = (a₁ + b₁, a₂ + b_2, a₃ + b₃).

2. el producto escalar se define por: sea α Є R  y a un vector en R³ , entonces  αa = α(a₁, a_2, a₃) = (α a₁, α a_2, αa₃). 

Definición:   Sean  a   y   b  vectores  en  Rⁿ,  tal  que  a = (a₁, a₂, a₃, …, a_n)  y  b = (b₁, b₂, b₃, …, b_n).  El producto interno de a  y  b representado por a ∙ b ó <a, b>, es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es:

a ∙ b = <a ∙ b> = (a₁ · b₁  +  a₂ · b₂   +   a₃ · b₃  + … +  a_{n ·} b_n).

Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.

Ejemplo (para discusión):  Halla el producto interno de:

1. a = (1, 1)  y  b = (1, -1) en R²
2. a = (3, 5)  y  b = ( 6, 10) en R²
3. a = (2, -3, 6)  y  b = ( 8, 2, -3) en R³
4. a = (1, -2, -3)  y  b = (2, -5, 4)  en R³

Definición:  Sea a = (a₁, a₂, a₃, …, a_n)  un vector en Rⁿ, la norma (magnitud o longitud) del vector , representada de la forma │a│ ó ║a ║, se define como la raíz cuadrada no negativa de a ∙ a = <a, a>.  Esto es:

  

Notas:

1. El vector cero tiene magnitud cero.  Como el punto inicial y el punto terminal coinciden, se dice que el vector no tiene dirección.

2. Como la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, se dice que: ║a + b║ ≤ ║a║ + ║b║.

3. Ejemplo para discusión:  Sean a = (1, 5)  y b = (3, 1).  Compara  ║a + b║  y  ║a║ + ║b║.

Definición:  Sean   a   y   b  vectores  en  Rⁿ,  donde   a = (a₁, a₂, a₃, …, a_n)   y  b = (b₁, b₂, b₃, …, b_n).  La distancia entre a y b  representada por d(a, b) está definida por:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
	Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa. Para calcularla aplicamos el teorema de Pitágoras en el rectángulo coloreado : Si los puntos tiene la misma ordenada o la misma abcisa, la distancia entre ellos se calcula sin necesidad de aplicar la fórmula anterior.

ejemplo

Producto Escalar

Producto Vectorial 

Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores 

a y b el vector c, cuya longitud númericamente equivale al área del paralelogramo construido en vectores 

a y b, perpendicular al plano de estos vectores y dirigido de tal manera que la revolución mínima del a hacia b en torno al vector c se haga de la derecha a la izquierda, si verlo del final del vector c.

Producto vectorial 
va = {x₁; y₁; z₁} y    b = {x₂; y₂; z₂}

 ven el sistema cartesiano de coordenadas – es un vector, cuyo valor se puede calcular, utilizando las fórmulas siguientes: 

a  ×  b  =	i	j	k	= i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2)
	x1	y1	z1
	x2	y2	z2

или

a

 × 

b

 = 

{y₁ z₂ - z₁ y₂; z₁ x₂ - x₁ z₂; x₁ y₂ - y₁ x₂}

Propiedades del Producto Vectorial

1..Interpretación geométrica geométrico del producto vectorial. Módulo del producto vectorial de dos vectores a y b equivale al área del paralelogramo construído en estos vectores.

2.Producto vectorial de dos vectores que no son nulos a y b equivale a cero sólo cuando los vectores son colineales

3.el vector c equivale al producto vectorial de los vectores a y b, entonces es perpendicular a estos vectores.

• a × b = -b× a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a× b)
• (a + b) × c = a × c + b × c